Рациональные дроби и разложение на простейшие

Краткий план ответа

Рациональная дробь $P(x)/Q(x)$, где $P,Q$ — вещественные многочлены, $Q\ne0$, определена при $Q(x)\ne0$. Правильная дробь имеет $\deg P<\deg Q$; из неправильной делением выделяют многочлен и правильный остаток.

Простейшие дроби: $A/(x-a)^r$ и $(Bx+C)/(x^2+px+q)^s$, где $r,s\ge1$ целые, $p^2-4q<0$. В конспекте отдельно выделены случаи первой и более высоких степеней — всего четыре типа.

Теорема: если знаменатель правильной дроби разложен как

где множители попарно различны и квадратичные неприводимы, то существуют единственные вещественные коэффициенты разложения

Для каждого множителя включаем все степени от 1 до кратности. Постоянный старший коэффициент знаменателя учитывается значениями неизвестных коэффициентов.

Алгоритм: выделить целую часть → разложить знаменатель → записать форму разложения → умножить на общий знаменатель → сравнить коэффициенты при одинаковых степенях. Для ускорения можно подставлять корни в полученное многочленное тождество.

Пример: $\frac{3x+1}{x(x+1)}=\frac A x+\frac B{x+1}$, поэтому $3x+1=A(x+1)+Bx$, $A=1$, $B=2$. Исходное равенство дробей действует при $x\ne0,-1$.

Источник и доказательство Полная формулировка и примеры найдены в общем конспекте V.4. Ниже добавлено самостоятельное доказательство существования и единственности.

Подробный разбор

Четыре типа простейших дробей

Лекционная классификация: $A/(x-a)$; $A/(x-a)^k$ при $k\ge2$; $(Bx+C)/(x^2+px+q)$; $(Bx+C)/(x^2+px+q)^k$ при $k\ge2$. В двух последних типах дискриминант отрицательный. Числитель имеет степень меньше степени соответствующего неприводимого множителя, а не степени всего знаменателя дроби.

Доказательство теоремы — дополнение к конспекту

Дадим доказательство существования и единственности через размерность пространства многочленов. Оно предполагает теорему о базисе и свойство взаимно простых многочленов: если $f,g$ взаимно просты и $f\mid gh$, то $f\mid h$ (следует из алгоритма Евклида).

Запишем знаменатель $Q=q_0\prod_{j=1}^s f_j^{m_j}$, где $f_j$ — различные приведённые неприводимые вещественные многочлены степени $d_j=1$ или 2. Для каждого $f_j^r$ берём неизвестный числитель $U_{jr}$ степени меньше $d_j$. Приведение предполагаемого разложения к общему знаменателю задаёт линейное отображение

В каждом слагаемом степень меньше $N=\deg Q$, поэтому образ принадлежит пространству $\mathcal P_{N-1}(\mathbb R)$. Число неизвестных коэффициентов равно $\sum_jm_jd_j=N$ — размерности этого пространства.

Докажем, что нулевой числитель получается только при всех $U_{jr}=0$. Фиксируем $j$ и рассматриваем тождество по модулю $f_j$. Все слагаемые, кроме $U_{j,m_j}Q/f_j^{m_j}$, делятся на $f_j$. Множитель $Q/f_j^{m_j}$ взаимно прост с $f_j$, поэтому $f_j\mid U_{j,m_j}$. Но $\deg U_{j,m_j}<\deg f_j$, значит $U_{j,m_j}=0$.

Для этого же $j$ теперь все оставшиеся слагаемые делятся на $f_j$. Делим тождество на $f_j$ и снова рассматриваем по модулю $f_j$: получаем $U_{j,m_j-1}=0$. Продолжая, обнуляем все числители для выбранного $j$. Повторяем для каждого множителя. Следовательно, отображение инъективно. Между пространствами одной конечной размерности инъективное линейное отображение биективно. Поэтому для любого $P$ степени меньше $N$ разложение существует и единственно.

Это доказывает общую формулу и для несократимой, и для сократимой правильной дроби; некоторые коэффициенты могут оказаться нулевыми.

Пример с повторным линейным множителем

Умножаем на знаменатель: $2x+1=A(x-1)^2+Bx(x-1)+Cx$. При $x=0$ получаем $A=1$, при $x=1$ — $C=3$. Коэффициент при $x^2$: $A+B=0$, поэтому $B=-1$. Проверяем линейный коэффициент: $-2A-B+C=-2+1+3=2$. Ответ $1/x-1/(x-1)+3/(x-1)^2$, $x\ne0,1$.

Пример с неприводимым квадратным множителем

После умножения: $1=A(x^2+1)+(Bx+C)x$. Сравнение коэффициентов даёт $A=1$, $B=-1$, $C=0$. Итак, $1/[x(x^2+1)]=1/x-x/(x^2+1)$ при $x\ne0$.

Неправильная дробь и область определения

Сначала делим: $(x^3+1)/(x^2+1)=x+(-x+1)/(x^2+1)$. Оставшаяся дробь уже простейшая. Если при сокращении исчез множитель знаменателя, запрещённые точки исходного выражения всё равно фиксируем отдельно. Подстановка корней знаменателя допустима в многочленное тождество после умножения, а не в исходные дроби.

Проверка себя

Какие дроби нужно записать для множителя (x−2)³ в знаменателе?