Комплексные числа. Алгебраическая форма

Краткий план ответа

Комплексное число $z=a+bi$, где $a,b\in\mathbb R$, $i^2=-1$. $a=\operatorname{Re}z$, $b=\operatorname{Im}z$. Равенство комплексных чисел означает равенство обеих частей. Вещественные числа соответствуют $b=0$.

Для $z=a+bi$, $w=c+di$:

$$z+w=(a+c)+(b+d)i,\quad z-w=(a-c)+(b-d)i,$$ $$zw=(ac-bd)+(ad+bc)i.$$

Сопряжённое $\bar z=a-bi$, $z\bar z=a^2+b^2$. При $w\ne0$:

Сложение и умножение коммутативны и ассоциативны; умножение дистрибутивно. Нейтральные элементы — 0 и 1; противоположное число $-z$, обратное $\bar z/(a^2+b^2)$ для $z\ne0$. Комплексные числа образуют поле.

Сопряжение сохраняет сумму и произведение: $\overline{z+w}=\bar z+\bar w$, $\overline{zw}=\bar z\bar w$.

Пример: $(1+i)/(1-i)=i$. Степени $i$ повторяются с периодом 4: $i,-1,-i,1$.

Подробный разбор

Как устроены комплексные числа

Можно определить $a+bi$ как пару $(a,b)$ вещественных чисел с операциями $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ и $(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$. Тогда $i=(0,1)$ действительно удовлетворяет $i^2=(-1,0)$, а вещественные числа вложены как пары $(a,0)$.

Вывод деления

Для $w=c+di\ne0$ число $c^2+d^2>0$. Умножаем числитель и знаменатель на $c-di$; мнимые части в знаменателе сокращаются, получается вещественное положительное число. Поэтому деление всегда возможно, кроме деления на 0. Из существования обратного следует: произведение двух ненулевых комплексных чисел не равно нулю.

Свойства и их проверка

Коммутативность и дистрибутивность видны из формул для пар. Ассоциативность умножения проверяется раскрытием: вещественная часть обоих выражений $(zw)u$ и $z(wu)$ равна $ace-adf-bcf-bde$ при $u=e+fi$, мнимая — $acf+ade+bce-bdf$.

Сопряжение дважды возвращает исходное число. $z+\bar z=2\operatorname{Re}z$, $z-\bar z=2i\operatorname{Im}z$. Сопряжение сохраняет разность и частное при ненулевом знаменателе.

Разобранный пример

Проверяем обратным умножением: $(-4/5+7i/5)(1-2i)=2+3i$. Чтобы вычислить $i^{2026}$, делим показатель на 4: остаток 2, значит результат $-1$.

Ограничение привычной арифметики

На комплексных числах нет порядка, согласованного со всеми свойствами порядка вещественных чисел: квадрат любого ненулевого элемента упорядоченного поля должен быть положителен, но $i^2=-1$. Поэтому сравнения комплексных чисел словами «больше» и «меньше» в обычном смысле не задаются.

Проверка себя

Почему при делении умножаем на сопряжённое знаменателя?