Смешанное произведение

Краткий план ответа

Смешанное произведение трёх векторов — число $[\vec a,\vec b,\vec c]=(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c$.

В правом ортонормированном базисе:

Циклическая перестановка не меняет результат: $[a,b,c]=[b,c,a]=[c,a,b]$. Перестановка любых двух аргументов меняет знак. Произведение линейно по каждому аргументу; при двух одинаковых аргументах равно нулю.

Геометрический смысл: ориентированный объём параллелепипеда. Обычный объём $V=|[a,b,c]|$, объём тетраэдра $V/6$. У правой тройки результат положителен, у левой отрицателен.

Критерий компланарности: $[a,b,c]=0$ ⇔ три вектора компланарны. Действительно, площадь основания, умноженная на высоту, даёт объём; он нулевой ровно при вырождении фигуры.

Например, $[\vec i,\vec j,\vec k]=1$, а $[\vec j,\vec i,\vec k]=-1$.

Подробный разбор

Вывод объёма и знака

При неколлинеарных $a,b$ вектор $a\times b$ — нормаль к основанию. Высота параллелепипеда равна $|c||\cos\theta|$, где $\theta$ — угол между $c$ и нормалью. Умножив её на площадь $|a\times b|$, получаем $|(a\times b)\cdot c|$. Знак показывает, с какой стороны плоскости основания находится конец $c$. При коллинеарных $a,b$ объём и смешанное произведение оба нулевые.

Свойства с обоснованием

Из билинейности векторного и скалярного произведений следует линейность смешанного по каждому из трёх аргументов. Подстановка координат в $(a\times b)\cdot c$ даёт формулу определителя. Перестановка двух строк определителя меняет знак; циклическая перестановка — две перестановки, поэтому знак сохраняется. В частности,

Если тройка компланарна, $c$ перпендикулярен нормали к её плоскости и результат нулевой. Обратно, если $a,b$ неколлинеарны и результат нулевой, $c$ лежит в их плоскости. Если $a,b$ коллинеарны, тройка уже компланарна независимо от $c$.

Пример: объём по четырём вершинам

Для тетраэдра $ABCD$ берём три ребра из одной вершины: $a=B-A$, $b=C-A$, $c=D-A$. Пусть $A=(1,0,0)$, $B=(3,0,0)$, $C=(1,3,0)$, $D=(1,0,4)$. Тогда $a=(2,0,0)$, $b=(0,3,0)$, $c=(0,0,4)$, смешанное произведение 24, объём тетраэдра $24/6=4$.

Типичная ошибка — подставить координаты самих точек вместо координат рёбер: формула требует именно векторы.

Проверка себя

Зачем брать модуль смешанного произведения при вычислении объёма?