Метод Крамера

Краткий план ответа

Рассмотрим систему $AX=b$ из $n$ уравнений с $n$ неизвестными. Пусть $\Delta=\det A\ne0$.

Теорема Крамера: система имеет единственное решение

где $\Delta_i$ — определитель матрицы, полученной заменой столбца $i$ матрицы $A$ на столбец правых частей $b$.

Обоснование: $b=x_1A_1+\cdots+x_nA_n$, где $A_j$ — столбцы. По линейности определителя в заменённом столбце все слагаемые, кроме $x_i\Delta$, содержат два одинаковых столбца и равны нулю. Поэтому $\Delta_i=x_i\Delta$. Существование следует из обратимости $A$.

Пример: $x+y=3$, $2x-y=0$. Здесь $\Delta=-3$, $\Delta_x=-3$, $\Delta_y=-6$, поэтому $x=1$, $y=2$.

Условие применения При $\Delta=0$ делить нельзя. По одному нулевому определителю основной матрицы нельзя решить, нет решений или их бесконечно много: используем метод Гаусса и ранги.

Подробный разбор

Полный пример для трёх неизвестных

Рассмотрим систему из конспекта:

Основная матрица $A=\begin{pmatrix}1&2&1\\2&1&-1\\3&-1&2\end{pmatrix}$ имеет определитель $-18$. Заменяя соответствующие столбцы на $(8,1,9)^T$, получаем:

$$\Delta_x=\begin{vmatrix}8&2&1\\1&1&-1\\9&-1&2\end{vmatrix}=-24,$$ $$\Delta_y=\begin{vmatrix}1&8&1\\2&1&-1\\3&9&2\end{vmatrix}=-30,\quad\Delta_z=\begin{vmatrix}1&2&8\\2&1&1\\3&-1&9\end{vmatrix}=-60.$$

Поэтому $x=4/3$, $y=5/3$, $z=10/3$. Проверяем все уравнения: $(4+10+10)/3=8$; $(8+5-10)/3=1$; $(12-5+20)/3=9$.

Полнота доказательства теоремы

Вывод $\Delta_i=x_i\Delta$ из предполагаемого решения показывает его необходимое значение и единственность. Чтобы не пропустить существование, используем обратимость $A$: при $\Delta\ne0$ существует $A^{-1}$, значит $X=A^{-1}b$ действительно решает систему. После этого необходимые формулы дают значения найденного решения.

Что означает нулевой определитель

При $\Delta=0$ исходная теорема Крамера не применяется. Если хотя бы один $\Delta_i\ne0$, решения быть не может из равенства $\Delta_i=x_i\Delta$. Но если все $\Delta_i=0$, этого в общем случае недостаточно, чтобы утверждать совместность: например, $A$ — нулевая матрица порядка 2, $b=(1,0)^T$. Все три определителя нулевые, а система содержит $0=1$.

Проверка себя

Какой столбец заменяется при вычислении второго неизвестного?