Определитель произвольного порядка

Краткий план ответа

Пункт « $D\times D$ » в программе трактуем как определитель квадратной матрицы произвольного порядка $n$ .

Рекурсивное определение: при $n=1$ определитель равен единственному элементу, при $n>1$ :

\det A=\sum_{j=1}^n a_{1j}(-1)^{1+j}M_{1j}.

Теорема разложения разрешает вместо первой строки выбрать любую строку или столбец. Удобно выбирать ту, где больше нулей.

Алгоритм: выбрать строку → для каждого ненулевого элемента вычеркнуть его строку и столбец → вычислить минор → учесть знак $(-1)^{i+j}$ → сложить произведения. Каждый шаг уменьшает порядок на 1.

Другой способ — привести матрицу к треугольной: прибавления кратных строк сохраняют определитель, каждая перестановка меняет знак, умножение строки на $\lambda$ умножает определитель на $\lambda$ . Затем перемножить диагональ и учесть все изменения.

Пример: если первая строка матрицы порядка 4 равна $(2,0,0,0)$ , то $\det A=2M_{11}$ , где $M_{11}$ — определитель порядка 3.

Частая ошибка Правило Саррюса не переносится на определители четвёртого и более высоких порядков.

Подробный разбор

Определение через перестановки — дополнение к лекционной записи

Перестановка $\sigma$ чисел $1,\ldots,n$ задаёт выбор по одному столбцу в каждой строке. Её знак $\operatorname{sgn}\sigma=(-1)^{N(\sigma)}$ , где $N$ — число инверсий, то есть пар $i<j$ с $\sigma(i)>\sigma(j)$ .

\det A=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}\sigma\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}.

Всего слагаемых $n!$ . При $n=2$ получаем $ad-bc$ , при $n=3$ — шесть слагаемых Саррюса. Группируя слагаемые по выбранному столбцу в фиксированной строке, получаем разложение по алгебраическим дополнениям. Это объясняет независимость результата от выбора строки.

Разобранный определитель порядка 4

D=\begin{vmatrix}1&2&0&0\\3&5&7&8\\9&10&0&1\\2&0&3&1\end{vmatrix}=M_{11}-2M_{12}.

$M_{11}=\begin{vmatrix}5&7&8\\10&0&1\\0&3&1\end{vmatrix}=-15-70+240=155,$ $M_{12}=\begin{vmatrix}3&7&8\\9&0&1\\2&3&1\end{vmatrix}=-9-49+216=158.$

Итак, $D=155-316=-161$ . Миноры считаются заново, с собственными локальными индексами.

Как выбирать способ

Если строка или столбец содержат много нулей — разложение. Если нулей мало — сначала создаём их прибавлением кратных строк или используем треугольный вид. В прямом вычислении через перестановки быстро растёт число слагаемых, поэтому это прежде всего определение и средство доказательств.

Проверка себя

Как учитывать перестановку строк при приведении к треугольному виду?