Собственные числа и собственные векторы

Краткий план ответа

Для квадратной матрицы $A$ число $\lambda$ называется собственным, если существует ненулевой столбец $X$, для которого $AX=\lambda X$. Такой $X$ — собственный вектор.

Уравнение эквивалентно $(A-\lambda E)X=0$. Ненулевое решение однородной квадратной системы существует тогда и только тогда, когда

Это характеристическое уравнение, его левая часть — многочлен степени $n$. Алгоритм: найти его корни; для каждого корня решить однородную систему; взять все ненулевые решения.

Например, $A=\begin{pmatrix}3&2\\1&4\end{pmatrix}$: характеристический многочлен $\lambda^2-7\lambda+10$, корни 2 и 5. Для 2 получаем $X=t(-2,1)^T$, для 5 — $X=t(1,1)^T$, $t\ne0$.

У треугольной матрицы собственные числа — диагональные элементы. Над $\mathbb R$ собственных чисел может не быть, над $\mathbb C$ характеристический многочлен имеет $n$ корней с учётом кратностей.

Уточнение конспекта Для одного собственного числа пространство решений может иметь несколько независимых направлений. Например, у $E$ при $\lambda=1$ любой ненулевой вектор собственный; не всегда достаточно одного параметра.

Подробный разбор

Почему характеристическое уравнение даёт все собственные числа

При $\det(A-\lambda E)\ne0$ однородная система имеет только решение $X=0$, которое исключено определением. При нулевом определителе ранг меньше числа неизвестных, поэтому есть свободная переменная и ненулевые решения. Это доказывает необходимость и достаточность условия.

Собственное подпространство $V_\lambda=\ker(A-\lambda E)$ включает ноль; собственные векторы — все его элементы, кроме нулевого. Если его размерность больше 1, общее решение содержит несколько параметров, не равных нулю одновременно.

Подробный пример из конспекта

Для $A=\begin{pmatrix}3&2\\1&4\end{pmatrix}$:

При $\lambda=2$ система $x+2y=0$ даёт $X=t(-2,1)^T$, $t\ne0$. Проверка: $A(-2,1)^T=(-4,2)^T=2(-2,1)^T$.

При $\lambda=5$ система $x-y=0$ даёт $X=t(1,1)^T$, $t\ne0$. Проверка: $A(1,1)^T=(5,5)^T$.

Дополнительные свойства с короткими доказательствами

Собственные векторы разных собственных чисел независимы. Для двух векторов: если $v=cu\ne0$, то $Av=cAu=c\lambda u=\lambda v$, а также $Av=\mu v$. Значит, $(\lambda-\mu)v=0$, невозможно при $\lambda\ne\mu$.

У треугольной матрицы $\det(A-\lambda E)=\prod_i(a_{ii}-\lambda)$, поэтому корни — диагональные элементы. Нулевое собственное число существует ⇔ $\det A=0$. Ненулевое собственное число обратимой матрицы превращается в $1/\lambda$ у обратной: из $Av=\lambda v$ следует $A^{-1}v=\lambda^{-1}v$.

Для $\begin{pmatrix}0&2\\-2&0\end{pmatrix}$ характеристическое уравнение $\lambda^2+4=0$: над $\mathbb R$ корней нет, над $\mathbb C$ есть $\pm2i$. Поле, в котором ищут векторы, существенно.

Проверка себя

Почему нулевой вектор исключён из определения?