Линейная комбинация и линейная зависимость

Краткий план ответа

Линейная комбинация системы $\vec e_1,\ldots,\vec e_n$ — вектор $\sum_{i=1}^n\alpha_i\vec e_i$. Комбинация тривиальна, если все коэффициенты нулевые.

Система линейно зависима, если $\sum\alpha_i\vec e_i=\vec0$ хотя бы при одном наборе коэффициентов, не равных нулю одновременно. Она независима, если равенство возможно только при $\alpha_1=\cdots=\alpha_n=0$.

Критерий: система зависима тогда и только тогда, когда один вектор выражается через остальные.

Доказательство. В нетривиальном равенстве выберем $\alpha_k\ne0$ и выразим $\vec e_k=-\sum_{i\ne k}(\alpha_i/\alpha_k)\vec e_i$. Обратно, перенос такого выражения в одну часть даёт нулевую комбинацию с коэффициентом 1 при $\vec e_k$.

Два геометрических вектора зависимы ⇔ коллинеарны; три ⇔ компланарны. В $\mathbb R^3$ любая система из четырёх и более векторов зависима. Система с нулевым вектором зависима.

Например, $(1,2)$ и $(2,4)$ зависимы: $2(1,2)-(2,4)=0$. Векторы $(1,0)$ и $(0,1)$ независимы.

Подробный разбор

Геометрические критерии с обоснованием

Для двух ненулевых векторов зависимость означает $\alpha\vec a+\beta\vec b=0$ с ненулевой парой коэффициентов. Если $\beta=0$, то $\alpha\vec a=0$, откуда $\alpha=0$ — противоречие. Поэтому $\vec b=-(\alpha/\beta)\vec a$: векторы коллинеарны. Обратно, коллинеарность даёт $\vec b=t\vec a$ и нетривиальную комбинацию $t\vec a-\vec b=0$. Случай нулевого вектора разбирается отдельно и тоже даёт зависимость.

Для трёх векторов: если первые два независимы, они задают плоскость, и компланарный третий раскладывается по ним по правилу параллелограмма. Получается зависимость. Если первые два уже зависимы, зависима и вся тройка, а вместе с третьим они лежат в некоторой плоскости. Обратно, выражение одного вектора через остальные помещает всю тройку в плоскость.

Координатная проверка

Записываем векторы столбцами матрицы $A$ и решаем $A\alpha=0$. Только нулевое решение означает независимость, ненулевое — зависимость. Это проверка определения, а не отдельное правило для трёх измерений.

Пример: $a=(1,0,1)$, $b=(0,1,1)$, $c=(1,1,2)$. Видно $c=a+b$, значит $a+b-c=0$. При этом $a,b$ независимы: первые две координаты комбинации сразу дают оба коэффициента равными нулю.

Следствия

Любая система, содержащая зависимую подсистему, зависима: к её нулевой комбинации добавляем остальные векторы с коэффициентами 0. Любая подсистема независимой системы независима. Нетривиальная комбинация может быть ненулевой; для зависимости требуется именно нулевая комбинация.

Проверка себя

Почему зависимость означает существование коэффициентов, а не произвольный их выбор?