Линейное пространство и базис

Краткий план ответа

Линейное пространство над $\mathbb R$ — непустое множество $V$ с замкнутыми в нём операциями сложения и умножения на вещественное число, удовлетворяющими восьми аксиомам из вопроса 1. Элементами могут быть геометрические векторы, столбцы координат, матрицы или многочлены.

Базис конечномерного пространства — линейно независимая система $e_1,\ldots,e_n$, порождающая всё пространство:

Числа $x_i$ — координаты в этом базисе. Единственность координат: вычитая два разложения, получаем $\sum(x_i-y_i)e_i=0$; независимость даёт $x_i=y_i$.

Число векторов в базисе — размерность $\dim V$; все базисы конечномерного пространства имеют одинаковое число элементов. На плоскости базис — любые два неколлинеарных вектора, в пространстве — любые три некомпланарных.

Ортогональный базис состоит из попарно перпендикулярных векторов; ортонормированный — ещё и из единичных. Стандартный базис $\mathbb R^3$: $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$.

Подробный разбор

Аксиомы пространства полностью

Для любых $u,v,w\in V$ и $\alpha,\beta\in\mathbb R$ выполняются: $u+v=v+u$; $(u+v)+w=u+(v+w)$; существует $0\in V$ с $u+0=u$; для каждого $u$ существует $-u$ с $u+(-u)=0$; $\alpha(\beta u)=(\alpha\beta)u$; $1u=u$; $\alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v$; $(\alpha+\beta)u=\alpha u+\beta u$.

Из них выводятся $0u=0$, $\alpha0=0$, $(-1)u=-u$. Например, $0u=(0+0)u=0u+0u$; прибавляя противоположный элемент, получаем $0u=0$.

Почему число векторов в базисе одинаково

Если пространство порождается $n$ векторами, любая система из более чем $n$ векторов зависима: записываем их координатные столбцы в порождающей системе; однородная система с числом неизвестных больше числа уравнений имеет ненулевое решение. Если два базиса имеют длины $m,n$, независимость первого даёт $m\le n$, независимость второго — $n\le m$. Значит, $m=n$.

Это обоснование использует теорию систем, которая изучается далее. Геометрически в трёхмерном пространстве независимы не более трёх направлений.

Пример смены координат

На плоскости $e_1=(1,1)$, $e_2=(1,-1)$ независимы. Для $a=(4,2)$ решаем $x+y=4$, $x-y=2$, получаем $(x,y)=(3,1)$. В стандартном базисе координаты того же вектора $(4,2)$, в новом — $(3,1)$. Эти базисные векторы ортогональны, но не единичны: их длины $\sqrt2$.

Границы утверждений

Произвольное линейное пространство не обязано иметь скалярное произведение: слова «ортогональный» и «ортонормированный» употребляем, когда оно задано. Здесь рассматриваются конечномерные пространства; множество всех многочленов имеет бесконечную размерность.

Проверка себя

Достаточно ли одной независимости, чтобы система стала базисом всего пространства?