Ранг. Базисные миноры. Ступенчатая матрица

Краткий план ответа

Ранг матрицы — наибольший порядок её ненулевого минора. Ранг нулевой матрицы равен 0; $0\le r\le\min(m,n)$. Он равен максимальному числу линейно независимых строк и максимальному числу линейно независимых столбцов.

Базисный минор — ненулевой минор порядка $r$. Выделяющие его строки и столбцы называются базисными; они независимы и порождают соответственно все строки и столбцы.

Элементарные преобразования: переставить две строки; умножить строку на ненулевое число; прибавить к строке кратную другой. Аналогичные операции допустимы со столбцами при вычислении ранга. Они обратимы и сохраняют ранг. Транспонирование тоже сохраняет ранг.

Ступенчатая матрица: нулевые строки находятся внизу, первый ненулевой элемент каждой следующей ненулевой строки расположен правее предыдущего. Под ведущими элементами стоят нули. Ведущие элементы не обязаны равняться 1.

После приведения к ступенчатому виду ранг равен числу ненулевых строк. Например, $\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix}$, поэтому $r=1$.

Ранг и определитель Умножение строки на ненулевое число сохраняет ранг, но меняет определитель. При решении системы выполняем операции над всей строкой расширенной матрицы.

Подробный разбор

Почему ранг сохраняется

Элементарные преобразования строк сохраняют линейную оболочку строк: новые строки выражаются через старые, а благодаря обратимости операций старые — через новые. Поэтому размерность оболочки не меняется. Для столбцов доказательство такое же. Равенство размерностей строкового и столбцового пространств видно после приведения к ступенчатому виду: обе равны числу ведущих элементов.

Теорема о базисном миноре

Если ненулевой минор порядка $r$ максимален, выделенные им строки независимы: зависимость полных строк дала бы зависимость их ограничений на выбранные столбцы и нулевой определитель минора. Поскольку ранг равен $r$, никакой дополнительной независимой строки быть не может; остальные выражаются через выбранные. Аналогично для столбцов. Базисный минор может быть не единственным.

Разобранный пример

Выполним $R_2\gets R_2-2R_1$, $R_3\gets R_3-R_1$ и переставим последние две строки. Получим $\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-1&-2\\0&0&0\end{pmatrix}$, ранг 2. В исходной матрице минор строк 1,3 и столбцов 1,2 равен $1\cdot1-2\cdot1=-1\ne0$ — это базисный минор.

Аккуратный алгоритм ступенчатого вида

На каждом шаге ищем ненулевой элемент в оставшихся строках текущего столбца. Если нашли — переносим строку на опорное место и обнуляем элементы под ним. Если не нашли — пропускаем столбец. Ведущий элемент следующей ненулевой строки может стоять не в следующем столбце, а правее.

Для квадратной матрицы порядка $n$ эквивалентны: $r=n$, $\det A\ne0$, существование обратной. Для прямоугольной матрицы определитель всей матрицы не определён, но ранг и миноры определены.

Проверка себя

Любой ли ненулевой минор является базисным?