Метод Гаусса. Теорема Кронекера–Капелли

Краткий план ответа

Система записывается как $AX=b$, расширенная матрица — $(A\mid b)$.

Прямой ход: элементарными преобразованиями строк получаем ступенчатую матрицу. Если в опорном месте ноль, ищем ненулевой элемент ниже и меняем строки; если весь оставшийся столбец нулевой, переходим к следующему. Все действия выполняем вместе с правой частью.

Обратный ход: начиная с последней ненулевой строки, выражаем ведущие неизвестные через уже найденные и свободные переменные.

Теорема Кронекера–Капелли: система совместна тогда и только тогда, когда $\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}(A\mid b)=r$. Если ранги различны, решений нет. Для совместной системы с $n$ неизвестными: при $r=n$ решение одно, при $r<n$ — бесконечно много, со свободными параметрами в числе $n-r$.

Идея теоремы: совместность означает, что $b$ — линейная комбинация столбцов $A$; добавление такого столбца не увеличивает ранг, и наоборот.

Строка $(0,\ldots,0\mid c)$ с $c\ne0$ означает противоречие. Строка $(0,\ldots,0\mid0)$ просто избыточна.

Пример: $(x+y=2,\ 2x+2y=4)$ даёт $y=t$, $x=2-t$. При правой части 5 во втором уравнении получается $0=1$, решений нет.

Уточнение конспекта Нулевая строка сама по себе не гарантирует бесконечное число решений. Проверяем совместность и сравниваем ранг с числом неизвестных.

Подробный разбор

Почему преобразования сохраняют решения

Перестановка уравнений не меняет требования к неизвестным. Умножение уравнения на ненулевое число обратимо делением. Прибавление кратного другого уравнения обратимо вычитанием того же кратного. Поэтому на каждом шаге получаем равносильную систему. Нельзя умножать строку на 0: операция необратима и теряет условие.

Доказательство Кронекера–Капелли

Столбцы $A_1,\ldots,A_n$ имеют линейную оболочку размерности $\operatorname{rank}A$. Уравнение $AX=b$ означает $b=x_1A_1+\cdots+x_nA_n$, то есть принадлежность $b$ этой оболочке. Добавление столбца $b$ не увеличивает размерность тогда и только тогда, когда он уже принадлежит оболочке. Это и есть равенство рангов основной и расширенной матриц.

При совместности ступенчатая система имеет $r$ ведущих переменных. Остальные $n-r$ можно задавать произвольно, затем обратным ходом единственно найти ведущие. Если свободных переменных нет, решение одно; если есть — над $\mathbb R$ или $\mathbb C$ решений бесконечно много.

Прямой и обратный ход на примере

Для системы $x+2y+z=8$, $2x+y-z=1$, $3x-y+2z=9$ после $R_2-2R_1$, $R_3-3R_1$ строки расширенной матрицы равны $(1,2,1\mid8)$, $(0,-3,-3\mid-15)$, $(0,-7,-1\mid-15)$. Делим вторую строку на $-3$, прибавляем её семикратную к третьей. Получаем последнюю строку $(0,0,6\mid20)$.

Обратно: $z=10/3$, $y=5-z=5/3$, $x=8-2y-z=4/3$. Обе матрицы имеют ранг 3.

Три разных исхода

• $x+y=2$, $2x+2y=5$: противоречие, ранги 1 и 2.
• $x+y=2$, $2x+2y=4$: ранг 1 при двух неизвестных, $x=2-t,y=t$.
• $x=1$, $y=2$, $2x=2$: после исключения есть нулевая строка, но ранг 2 при двух неизвестных — решение единственное.

Проверка себя

Может ли система с нулевой строкой иметь единственное решение?