Линейные действия с векторами

Краткий план ответа

Вектор — направленный отрезок; для свободного вектора положение несущественно. Его модуль $|\vec a|$ — длина. Нулевой вектор имеет длину 0. Коллинеарные векторы лежат на одной или параллельных прямых; нулевой вектор коллинеарен любому. Равные векторы имеют одинаковые длину и направление.

Для $\vec a\ne0$ орт $\vec a^0=\vec a/|\vec a|$: единичный вектор того же направления.

Сумма строится по правилу треугольника (второй вектор откладываем от конца первого) или параллелограмма (сумма — диагональ из общего начала). Разность $\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b)$.

Произведение $\lambda\vec a$ имеет длину $|\lambda||\vec a|$, при $\lambda>0$ направление сохраняется, при $\lambda<0$ меняется на противоположное; $0\vec a=\vec0$.

Для любых векторов и вещественных $\lambda,\mu$:

$$\vec a+\vec b=\vec b+\vec a,\quad(\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c),$$ $$\vec a+\vec0=\vec a,\quad\vec a+(-\vec a)=\vec0,$$ $$\lambda(\mu\vec a)=(\lambda\mu)\vec a,\quad1\vec a=\vec a,$$ $$\lambda(\vec a+\vec b)=\lambda\vec a+\lambda\vec b,\quad(\lambda+\mu)\vec a=\lambda\vec a+\mu\vec a.$$

В координатах действия выполняются покоординатно: $(1,2)+(3,-1)=(4,1)$; орт $(3,4)$ равен $(3/5,4/5)$.

Подробный разбор

Основные понятия и построения

Угол между ненулевыми векторами определяется после переноса их начал в одну точку и лежит в $[0,\pi]$. Компланарные векторы можно отложить в одной плоскости. Любые два геометрических вектора компланарны. Противоположный вектор имеет ту же длину, но обратное направление; орт существует только у ненулевого вектора.

Если $A,B$ — точки, то $\overrightarrow{AB}=B-A$ в координатах. Из правила треугольника следует тождество Шаля $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$. Если векторы $\vec a,\vec b$ имеют общее начало, разность $\vec a-\vec b$ направлена от конца $\vec b$ к концу $\vec a$.

Почему выполняются свойства

Ассоциативность сложения следует из последовательного откладывания трёх векторов: итоговое перемещение не зависит от группировки шагов. Коммутативность видна из параллелограмма. Нулевой вектор не меняет перемещения; противоположный возвращает в начальную точку. Остальные аксиомы проверяются в координатах: например, $[\lambda(\vec a+\vec b)]_i=\lambda(a_i+b_i)=\lambda a_i+\lambda b_i$. Аналогично доказываются обе дистрибутивности и согласованность умножения на числа.

Разобранный пример

Пусть $A=(1,-1,2)$, $B=(3,2,2)$. Тогда $\overrightarrow{AB}=(2,3,0)$, длина $\sqrt{13}$, орт $(2/\sqrt{13},3/\sqrt{13},0)$. Вектор $-2\overrightarrow{AB}=(-4,-6,0)$ вдвое длиннее и противоположно направлен. Положение точки начала на определение орта не влияет.

Что могут уточнить

• Существует ли орт нулевого вектора? Нет: деление на длину невозможно, направление не задано.
• Может ли произведение ненулевого вектора на число стать нулевым? Только если число равно нулю.
• Меняется ли свободный вектор при параллельном переносе? Нет.

Проверка себя

Как построить разность двух векторов из общего начала?