Умножение матриц

Краткий план ответа

Произведение $A_{m\times n}B_{n\times p}=C_{m\times p}$ определено, когда число столбцов первого множителя равно числу строк второго.

Каждый элемент получается умножением строки $A$ на столбец $B$ и сложением результатов.

Свойства при согласованных размерах:

$$A(BC)=(AB)C,\quad A(B+C)=AB+AC,\quad(A+B)C=AC+BC,$$ $$\lambda(AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B),\quad E_mA=A=AE_n.$$

Обычно $AB\ne BA$; одно из произведений может вообще не существовать. Даже $AB=O$ не означает $A=O$ или $B=O$.

Пример: $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$. Тогда $AB=B$, а $BA=O$.

Для квадратных матриц одного порядка $\det(AB)=\det A\det B$. Транспонирование меняет порядок множителей: $(AB)^T=B^TA^T$.

Подробный разбор

Доказательство ассоциативности

Пусть $A$ имеет размер $m\times n$, $B$ — $n\times p$, $C$ — $p\times q$. Тогда

Переставлять конечные суммы можно, порядок матриц при этом не меняется. Дистрибутивность следует из раскрытия $\sum_k a_{ik}(b_{kj}+c_{kj})$; свойство числового множителя — из вынесения его из суммы. Единичная матрица выбирает единственный ненулевой член суммы и потому сохраняет матрицу.

Транспонирование произведения

Элемент $(i,j)$ матрицы $(AB)^T$ равен $\sum_k a_{jk}b_{ki}$. Тот же элемент у $B^TA^T$ равен $\sum_k b_{ki}a_{jk}$. Произведения чисел коммутативны, значит матрицы равны. Отсюда обратный порядок множителей при транспонировании.

Прямоугольный пример

Например, нижний левый элемент: $4\cdot2+5\cdot0+6\cdot1=14$. Результат имеет размер $2\times2$. Произведение в обратном порядке тоже существует, но имеет размер $3\times3$.

Что нельзя переносить с чисел

Из $AB=AC$ нельзя без условий сократить $A$. Например, нулевая матрица даёт равенство при любых $B,C$. Если $A$ обратима, сокращение допустимо умножением слева на $A^{-1}$. Формула $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$ требует $AB=BA$; в общем случае средние слагаемые — $AB+BA$.

Проверка себя

Как определить размер результата до вычисления элементов?