Тригонометрическая и показательная формы

Краткий план ответа

Числу $z=a+bi$ соответствует точка $(a,b)$ или радиус-вектор на комплексной плоскости. Модуль $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ — расстояние до начала координат.

Для $z\ne0$ аргумент $\varphi$ — угол от положительного направления вещественной оси к радиус-вектору. Он определён с точностью до $2\pi k$: $\arg z=\varphi+2\pi k$. Конкретный главный аргумент выбирают в заранее оговорённом промежутке длины $2\pi$, в конспекте $[0,2\pi)$.

Связь: $a=r\cos\varphi$, $b=r\sin\varphi$. У нуля аргумент не определён. При нахождении аргумента по тангенсу обязательно учитываем четверть.

Для ненулевых чисел:

При умножении модули перемножаются, аргументы складываются; при делении модули делятся, аргументы вычитаются.

Пример: $-1+i=\sqrt2e^{3\pi i/4}$, квадрат этого числа равен $2e^{3\pi i/2}=-2i$.

Подробный разбор

Соглашение именно этого конспекта

В личном IV.2 аргумент выбирается в промежутке $[0,2\pi)$. Для ответа по лекции используем его. Общий аргумент отличается на $2\pi k$, $k\in\mathbb Z$; например, аргументы $-i$ — $3\pi/2+2\pi k$. В другом соглашении главным мог бы быть $-\pi/2$, но это то же направление.

При $a\ne0$ и $\alpha=\arctan(b/a)\in(-\pi/2,\pi/2)$:

• $a>0,b\ge0$: $\varphi=\alpha$;
• $a<0$: $\varphi=\pi+\alpha$;
• $a>0,b<0$: $\varphi=2\pi+\alpha$.

При $a=0,b>0$ берём $\pi/2$, при $a=0,b<0$ — $3\pi/2$. При $a=b=0$ аргумента нет.

Вывод умножения и деления

Раскрываем скобки $(\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta)$. Вещественная часть $\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha+\beta)$, мнимая $\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\sin(\alpha+\beta)$. Модули стоят общим множителем $r_1r_2$. Для обратного числа модуль $1/r_2$, аргумент $-\beta$; это даёт деление.

Геометрически умножение на $re^{i\varphi}$ растягивает расстояния от начала в $r$ раз и поворачивает на угол $\varphi$. Умножение на $i$ — поворот на $\pi/2$.

Разобранный переход между формами

$z=-1+i\sqrt3$: модуль 2, II четверть, аргумент $2\pi/3$. Поэтому $z=2(\cos(2\pi/3)+i\sin(2\pi/3))=2e^{2\pi i/3}$. Делим на $w=1+i=\sqrt2e^{\pi i/4}$: $z/w=\sqrt2e^{5\pi i/12}$.

Формула Эйлера связывает тригонометрическую и показательную запись. Её аналитическое доказательство через ряды не требуется для пользования этими формами в данном разделе; здесь она принимается как известная формула.

Проверка себя

Почему одного значения arctan(b/a) недостаточно для аргумента?