Скалярное произведение и проекция

Краткий план ответа

Скалярное произведение — число:

Если один вектор нулевой, произведение равно 0. В ортонормированном базисе $\vec a\cdot\vec b=\sum a_ib_i$.

Оно коммутативно, линейно по каждому аргументу: $(\lambda\vec a)\cdot\vec b=\lambda(\vec a\cdot\vec b)$, $(\vec a+\vec b)\cdot\vec c=\vec a\cdot\vec c+\vec b\cdot\vec c$. Скалярный квадрат $\vec a\cdot\vec a=|\vec a|^2\ge0$, равенство только для нулевого вектора.

Для ненулевых векторов произведение равно нулю ⇔ они перпендикулярны; знак произведения определяет острый или тупой угол.

Скалярная проекция на ось с единичным направлением $\vec e$:

Проекция — число со знаком; векторная компонента равна $(\vec a\cdot\vec e)\vec e$. Геометрически $\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\operatorname{пр}_{\vec a}\vec b$ при $\vec a\ne0$. Угол вычисляется по $\cos\varphi=(\vec a\cdot\vec b)/(|\vec a||\vec b|)$.

Физический смысл: работа постоянной силы на прямолинейном перемещении $W=\vec F\cdot\vec s$. Например, сила 10 под углом $60^\circ$ к перемещению 2 совершает работу 10.

Подробный разбор

Вывод координатной формулы

В ОНБ $e_i\cdot e_j=0$ при $i\ne j$ и $e_i\cdot e_i=1$. Раскрыв $a\cdot b=(\sum a_ie_i)\cdot(\sum b_je_j)$ по линейности, получаем $\sum_i a_ib_i$. Для геометрического определения линейность можно обосновать линейностью ориентированных проекций: проекция суммы равна сумме проекций, проекция кратного — кратной проекции.

Из координатной формулы непосредственно следуют коммутативность, линейность и положительность квадрата. Для ненулевых векторов $a\cdot b=0$ означает $\cos\varphi=0$, то есть $\varphi=\pi/2$. Если один вектор нулевой, произведение тоже нулевое, хотя угол с ним не определён.

Проекция на ненулевой вектор

Если направление задано ненулевым $b$, то единичный вектор оси $e=b/|b|$. Поэтому скалярная проекция $a$ на это направление равна $(a\cdot b)/|b|$, а векторная:

Разность $a-\operatorname{proj}_b a$ перпендикулярна $b$: её скалярное произведение с $b$ равно нулю. Направление оси меняет знак скалярной проекции, но не сам вектор ортогональной компоненты.

Разобранный пример и физический знак

$a=(3,4)$, $b=(1,0)$. Длины 5 и 1, произведение 3, поэтому $\cos\varphi=3/5$, скалярная проекция 3, векторная $(3,0)$. Перпендикулярная составляющая — $(0,4)$.

Работа положительна, когда сила помогает перемещению, отрицательна, когда противодействует, и нулевая при перпендикулярной силе. В СИ при силе в ньютонах и перемещении в метрах результат получается в джоулях.

Проверка себя

Чем скалярная проекция отличается от векторной компоненты?