Векторное произведение

Краткий план ответа

В ориентированном трёхмерном евклидовом пространстве $\vec a\times\vec b$ — вектор, перпендикулярный обоим множителям, с длиной $|\vec a||\vec b|\sin\varphi$. Для неколлинеарных множителей направление выбирается так, чтобы $(\vec a,\vec b,\vec a\times\vec b)$ было правой тройкой. Для коллинеарных множителей результат — нулевой вектор.

В правом ортонормированном базисе:

Свойства: антикоммутативность $\vec a\times\vec b=-\vec b\times\vec a$, линейность по каждому аргументу, $\vec a\times\vec a=0$. Произведение равно нулю ⇔ множители коллинеарны. Обычная ассоциативность трёх векторов в общем случае не выполняется.

Геометрический смысл: площадь параллелограмма $S=|\vec a\times\vec b|$; треугольника — половина этой величины.

Физический смысл: момент силы относительно точки $\vec M=\vec r\times\vec F$, где $\vec r$ направлен от точки отсчёта к точке приложения силы.

Пример: $(1,0,0)\times(0,1,0)=(0,0,1)$.

Уточнение конспекта Условие «правая некомпланарная тройка» применимо только к неколлинеарным множителям. При коллинеарности произведение нулевое.

Подробный разбор

Как задаётся направление

Для ненулевого произведения применяют правило правой руки: поворот от первого множителя ко второму через меньший угол согласован с направлением большого пальца. В правом ОНБ $i\times j=k$, $j\times k=i$, $k\times i=j$. Обратные перестановки дают минус.

Вывод формулы и свойств

Раскрывая $(a_1i+a_2j+a_3k)\times(b_1i+b_2j+b_3k)$ по билинейности и используя таблицу произведений базисных векторов, получаем координатную формулу из краткого ответа. Обратно, по этой формуле проверяются билинейность и антикоммутативность: смена порядка меняет знак каждой координаты, а сложение аргументов раскрывается покоординатно.

Скалярное произведение результата с $a$ или $b$ равно нулю после сокращения слагаемых. Для его длины справедливо тождество

Первое равенство получается раскрытием квадратов координат. Поэтому координатная формула согласована с геометрическим определением. Равенство нулю эквивалентно коллинеарности, включая нулевые множители.

Разобранный пример

$a=(1,2,3)$, $b=(4,5,6)$. Произведение $(-3,6,-3)$, длина $\sqrt{54}=3\sqrt6$. Площадь параллелограмма $3\sqrt6$, треугольника $3\sqrt6/2$. Проверка: $(-3,6,-3)\cdot a=-3+12-9=0$ и $(-3,6,-3)\cdot b=-12+30-18=0$.

Для момента силы: $r=(2,0,0)$ м, $F=(0,3,0)$ Н дают $M=(0,0,6)$ Н·м. Смена точки отсчёта меняет радиус-вектор и обычно момент.

Почему нет ассоциативности

$(i\times i)\times j=0$, а $i\times(i\times j)=i\times k=-j$. Поэтому скобки при повторном векторном произведении существенны.

Проверка себя

Почему перестановка множителей меняет направление результата?