Линейные действия с матрицами

Краткий план ответа

Матрица $A=(a_{ij})_{m\times n}$ — прямоугольная таблица из $m$ строк и $n$ столбцов. Равные матрицы имеют одинаковый размер и попарно равные элементы.

Для матриц одного размера:

Свойства: $A+B=B+A$; $(A+B)+C=A+(B+C)$; $A+O=A$; $A+(-A)=O$; $\lambda(\mu A)=(\lambda\mu)A$; $1A=A$; $\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B$; $(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A$.

Все свойства следуют из соответствующих свойств чисел покоординатно. Матрицы фиксированного размера образуют линейное пространство.

Квадратная матрица имеет $m=n$; диагональная — нули вне диагонали; единичная $E$ — единицы на диагонали и нули вне её; нулевая $O$ — все элементы нули.

Пример: $2\begin{pmatrix}1&-1\\0&3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0&2\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-4\\-1&5\end{pmatrix}$.

Подробный разбор

Доказательства линейных свойств

Матрицы равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие элементы. Поэтому, например,

Аналогично $[\alpha(A+B)]_{ij}=\alpha(a_{ij}+b_{ij})=\alpha a_{ij}+\alpha b_{ij}$. Ассоциативность и коммутативность сложения доказываются тем же способом. Нулевая матрица и противоположная матрица единственны, поскольку каждый их элемент однозначно определяется соответствующим свойством числа.

Линейная комбинация матриц

Выражение $\alpha_1A_1+\cdots+\alpha_kA_k$ имеет смысл только для матриц одинакового размера. Пространство $m\times n$ матриц имеет базис $E_{ij}$: в каждой такой матрице одна единица в позиции $(i,j)$, остальные элементы нули. Разложение $A=\sum_{i,j}a_{ij}E_{ij}$ показывает, что размерность равна $mn$.

Разобранный пример с параметром

Пусть $A=\begin{pmatrix}1&2\\-1&0\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}3&-2\\1&4\end{pmatrix}$. Тогда

Уравнение $2X+A=B$ решается покоординатно: $X=(B-A)/2=\begin{pmatrix}1&-2\\1&2\end{pmatrix}$. Здесь деление на 2 означает умножение всей матрицы на $1/2$; это не деление матриц друг на друга.

Важное различие

Нулевая матрица может быть прямоугольной, единичная — квадратная. Сложение не требует квадратности. Обозначение $A^2$ означает матричное произведение $AA$, а не покомпонентное возведение элементов в квадрат.

Проверка себя

Какие ограничения на размеры нужны для сложения матриц?