Кратные корни. Вещественные многочлены

Краткий план ответа

Число $c$ — корень кратности $k\ge1$, если $P(z)=(z-c)^kQ(z)$, где $Q(c)\ne0$. При $k=1$ корень простой.

Признак кратности:

Краткое доказательство (дополнение): точная формула Тейлора для многочлена $P(z)=\sum_{j=0}^n P^{(j)}(c)(z-c)^j/j!$ показывает: кратность — номер первой ненулевой производной.

У многочлена с вещественными коэффициентами невещественные корни встречаются сопряжёнными парами одинаковой кратности: если $a+bi$ — корень, то $a-bi$ тоже. Причина: $P(\bar z)=\overline{P(z)}$, то же верно для всех производных.

Сопряжённая пара при $b\ne0$ даёт вещественный множитель:

Поэтому над $\mathbb R$ любой ненулевой многочлен раскладывается в константу и степени линейных множителей $(x-a)$ и неприводимых квадратных $x^2+px+q$ с $p^2-4q<0$. Неприводимы сами линейные и квадратные множители; их степени выше первой уже приводимы.

Пример: $x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)$; у $(x-1)^2(x+2)$ корень 1 кратности 2.

Подробный разбор

Признак кратности: подробное доказательство

Для многочлена степени $n$ справедлива точная, без остатка, формула Тейлора:

Она следует из подстановки $z=c+h$ и раскрытия степеней по биному Ньютона; коэффициент при $h^j$ равен $P^{(j)}(c)/j!$. Если первые $k$ значений производных, начиная с нулевой, равны 0, а $k$-я ненулевая, выносим $(z-c)^k$. Оставшийся множитель в точке $c$ равен $P^{(k)}(c)/k!\ne0$. Это достаточность. Обратно, при точном множителе $(z-c)^k$ первый ненулевой коэффициент разложения по $z-c$ имеет номер $k$, поэтому производные обладают указанными значениями.

Сопряжённые корни и их кратности

Если коэффициенты вещественные, $P(\bar z)=\overline{P(z)}$. Производные тоже имеют вещественные коэффициенты, поэтому $P^{(j)}(\bar z)=\overline{P^{(j)}(z)}$. Нулевые производные у корня и сопряжённого совпадают, первая ненулевая остаётся ненулевой — кратности равны. Для вещественного корня сопряжение возвращает тот же корень и второй отдельный множитель не добавляет.

Неприводимость и полный вид разложения

Многочлен положительной степени неприводим над $\mathbb R$, если не представляется произведением двух вещественных многочленов положительных степеней. Линейный всегда неприводим. Квадратный неприводим ровно при отрицательном дискриминанте. У вещественного многочлена степени выше 2 выделяется либо вещественный линейный множитель, либо квадратный от пары сопряжённых корней, поэтому неприводимым он быть не может.

$$P(x)=a_0\prod_i(x-a_i)^{k_i}\prod_j(x^2+p_jx+q_j)^{m_j},\quad p_j^2-4q_j<0,$$ $$\deg P=\sum_i k_i+2\sum_j m_j.$$

Пример с проверкой производными

$P=x^3-3x+2$. $P(1)=0$, $P'(1)=3-3=0$, $P''(1)=6\ne0$, значит кратность 2. У $-2$ производная $P'(-2)=9\ne0$, корень простой. Над $\mathbb R$ многочлен $x^4+1$ раскладывается как $(x^2+\sqrt2x+1)(x^2-\sqrt2x+1)$; оба дискриминанта равны $-2$.

Проверка себя

Почему сопряжённость корней требует вещественных коэффициентов?