Теоремы Безу и Гаусса

Краткий план ответа

Теорема Безу: остаток от деления $P(z)$ на $z-c$ равен $P(c)$ .

Доказательство: деление даёт $P(z)=(z-c)S(z)+R$ , причём $R$ — постоянное число. Подстановка $z=c$ даёт $R=P(c)$ .

Следствие: $c$ — корень $P$ тогда и только тогда, когда $P$ делится на $z-c$ без остатка.

Основная теорема алгебры (Гаусса): всякий многочлен положительной степени с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень.

Следствие: многочлен степени $n\ge1$ раскладывается над $\mathbb C$ в произведение линейных множителей

P(z)=a_0\prod_{j=1}^n(z-z_j).

Доказательство следствия: находим корень по основной теореме, выделяем линейный множитель по Безу и повторяем для частного степени $n-1$ . Поэтому корней ровно $n$ с учётом кратности и не более $n$ различных.

Пример: $z^2+1=(z-i)(z+i)$ . Вещественных корней нет, но комплексные существуют.

Граница материала В конспекте основная теорема алгебры дана без доказательства. Ниже добавлено самостоятельное доказательство через минимум модуля.

Подробный разбор

Основная теорема алгебры: дополнительное доказательство

В лекционной заметке доказательства нет. Ниже самостоятельное доказательство через минимум модуля; оно использует непрерывность и существование минимума непрерывной функции на замкнутом ограниченном множестве. Для устного ответа стоит знать, требует ли преподаватель именно это доказательство.

Пусть $P$ — многочлен степени $n\ge1$ . При $|z|\to\infty$ имеем $|P(z)|\to\infty$ : старший член превосходит по порядку сумму остальных. Поэтому непрерывная функция $|P|$ достигает глобального минимума в некоторой точке $z_0$ — достаточно взять большой замкнутый круг, вне которого значения больше $|P(0)|$ .

Предположим, $a=P(z_0)\ne0$ . Разложим по степеням $h$ :

\frac{P(z_0+h)}a=1+ch^k+\sum_{j>k}c_jh^j,\qquad c\ne0,\ k\ge1.

Выбираем аргумент $h$ так, чтобы $ch^k=-|c|t^k$ , где $t=|h|>0$ . Это возможно из формулы комплексных корней. Для $0<t\le1$ модуль оставшейся суммы не превосходит $Ct^{k+1}$ , где $C=\sum_{j>k}|c_j|$ . Берём $t$ настолько малым, чтобы $|c|t^k<1$ и $Ct<|c|/2$ (если $C=0$ , второе условие не нужно). Тогда

\left|\frac{P(z_0+h)}a\right|\le1-|c|t^k+Ct^{k+1}<1.

Получилось $|P(z_0+h)|<|P(z_0)|$ , что противоречит минимальности. Значит, $P(z_0)=0$ . Теорема доказана.

Следствия с учётом кратностей

После выделения каждого линейного множителя степень понижается на 1, поэтому процесс останавливается после $n$ шагов. Группируя одинаковые корни:

P(z)=a_0\prod_{j=1}^s(z-c_j)^{k_j},\quad c_j\ne c_l\ (j\ne l),\quad\sum_jk_j=n.

В частности, ненулевой многочлен степени $n$ не может иметь больше $n$ различных корней. Если два многочлена степени не выше $n$ совпадают более чем в $n$ различных точках, их разность нулевая, то есть они тождественно равны.

Пример применения Безу

$P=z^3-3z+2$ . $P(1)=0$ , значит выделяем $z-1$ . Частное $z^2+z-2=(z-1)(z+2)$ , поэтому $P=(z-1)^2(z+2)$ . Различных корней два, с учётом кратности — три.

Проверка себя

Что значит считать корни с учётом кратности?