Обратная методом Гаусса. Матричное решение системы

Краткий план ответа

Для невырожденной квадратной матрицы $A$ составляем блочную матрицу $(A\mid E)$ и одними и теми же преобразованиями строк приводим её к $(E\mid A^{-1})$ .

Сначала обнуляем элементы под ведущими, затем над ними и нормируем ведущие элементы. Это метод Жордана–Гаусса. Если левый блок нельзя привести к $E$ , матрица вырождена и обратной нет.

Почему метод работает: совокупность преобразований строк — умножение слева на обратимую матрицу $P$ . Получаем $(PA\mid P)$ ; если $PA=E$ , то $P=A^{-1}$ .

Пример:

\left(\begin{array}{cc|cc}1&1&1&0\\0&1&0&1\end{array}\right)\xrightarrow{R_1-R_2}\left(\begin{array}{cc|cc}1&0&1&-1\\0&1&0&1\end{array}\right).

Значит, $A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}$ .

Матричный способ решения: при $\det A\ne0$ из $AX=b$ умножением слева получаем $X=A^{-1}b$ . Для $b=(3,2)^T$ в примере $X=(1,2)^T$ .

Проверка: $AA^{-1}=E$ , а для системы — $AX=b$ . Произвольные преобразования столбцов блочной матрицы этот алгоритм не сохраняют.

Подробный разбор

Полный пример нахождения обратной

\left(\begin{array}{cc|cc}5&-3&1&0\\-4&2&0&1\end{array}\right).

Заменяем $R_1\gets R_1+R_2$ : $\left(\begin{array}{cc|cc}1&-1&1&1\\-4&2&0&1\end{array}\right)$ . Затем $R_2\gets R_2+4R_1$ : $\left(\begin{array}{cc|cc}1&-1&1&1\\0&-2&4&5\end{array}\right)$ . Делим вторую строку на $-2$ и прибавляем её к первой:

\left(\begin{array}{cc|cc}1&0&-1&-3/2\\0&1&-2&-5/2\end{array}\right).

Итак, $A^{-1}=\begin{pmatrix}-1&-3/2\\-2&-5/2\end{pmatrix}$ .

Матричное решение с этой обратной

Для системы $5x-3y=1$ , $-4x+2y=2$ имеем $b=(1,2)^T$ :

X=A^{-1}b=\begin{pmatrix}-1-3\\-2-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-7\end{pmatrix}.

Проверка: $-20+21=1$ , $16-14=2$ . При вычислении обе половины блочной матрицы преобразуются целиком; нельзя выполнить действие только слева от черты.

Доказательство алгоритма через элементарные матрицы

Каждая операция над строками реализуется умножением слева на соответствующую элементарную матрицу $E_i$ , полученную той же операцией из единичной. Произведение $P=E_k\cdots E_1$ обратимо. Поэтому $(A\mid E)\mapsto(PA\mid P)$ . Если $PA=E$ , то $A=P^{-1}$ и $P=A^{-1}$ . Невырожденную матрицу можно привести к $E$ , так как её ранг равен числу строк.

Для решения одной системы прямой метод Гаусса обычно короче, чем вычисление всей обратной. Матричный метод особенно естественен, когда обратная уже известна или правых частей несколько.

Проверка себя

Почему при решении AX=b обратную матрицу ставят слева от b?