Миноры и алгебраические дополнения

Краткий план ответа

Минор порядка $k$ — определитель квадратной подматрицы, выделенной выбором $k$ строк и $k$ столбцов.

Минор элемента $a_{ij}$ квадратной матрицы порядка $n$ — определитель $M_{ij}$ порядка $n-1$, полученный вычёркиванием строки $i$ и столбца $j$.

Алгебраическое дополнение:

Знаки располагаются шахматно, начиная с плюса в позиции $(1,1)$.

Теорема разложения: $\det A=\sum_j a_{ij}C_{ij}$ по любой строке $i$; по столбцу $j$: $\det A=\sum_i a_{ij}C_{ij}$.

Теорема аннулирования: $\sum_j a_{ij}C_{kj}=0$ при $i\ne k$; аналогично для разных столбцов. Это разложение определителя с двумя одинаковыми строками.

Например, для $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&4&5\\1&0&6\end{pmatrix}$ имеем $M_{12}=0\cdot6-5\cdot1=-5$, $C_{12}=5$.

Обозначение $C_{ij}$ здесь выбрано, чтобы не путать дополнение с самой матрицей $A$; в конспекте дополнения обозначаются $A_{ij}$.

Подробный разбор

Полный пример разложения и аннулирования

Пусть $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&4&5\\1&0&6\end{pmatrix}$. Для первой строки:

Следовательно, $\det A=1\cdot24+2\cdot5+3\cdot(-4)=22$.

Если вместо первой строки взять элементы второй, сохраняя дополнения первой, получим $0\cdot24+4\cdot5+5\cdot(-4)=0$. Это теорема аннулирования. Её доказательство: заменим первую строку второй и разложим по первой; её миноры не меняются, поскольку сама первая строка вычёркивается, а определитель с двумя одинаковыми строками равен нулю.

Откуда берётся знак

Перенос элемента $a_{ij}$ в позицию $(1,1)$ требует $i-1$ перестановок строк и $j-1$ перестановок столбцов. Общий знак $(-1)^{i+j-2}=(-1)^{i+j}$. Именно поэтому минор и дополнение нельзя отождествлять при нечётной сумме индексов.

Связь с обратной матрицей

Элемент $(i,k)$ произведения $A\operatorname{adj}A$ равен $\sum_j a_{ij}C_{kj}$. При $i=k$ это $\det A$, при $i\ne k$ — ноль. Поэтому $A\operatorname{adj}A=(\det A)E$. Транспонирование дополнений в присоединённой матрице обеспечивает нужное совпадение индексов.

Различие терминов

Минор порядка 2 прямоугольной матрицы выбирается любыми двумя строками и столбцами. Минор элемента квадратной матрицы порядка 4 всегда имеет порядок 3. Для матрицы порядка 1 используется соглашение: определитель пустой матрицы равен 1, поэтому её единственное дополнение равно 1.

Проверка себя

Чем минор элемента отличается от произвольного минора порядка k?