Обратная матрица и транспонирование

Краткий план ответа

Обратная к квадратной матрице $A$ — матрица $A^{-1}$, для которой $AA^{-1}=A^{-1}A=E$.

Теорема: обратная существует тогда и только тогда, когда $\det A\ne0$, и в этом случае единственна.

Вычисление: $C=(C_{ij})$ — матрица алгебраических дополнений, $\operatorname{adj}A=C^T$. Тогда

Доказательство (дополнение к конспекту). Из теорем разложения и аннулирования $A\operatorname{adj}A=(\det A)E=\operatorname{adj}A\,A$. При ненулевом определителе делим на него. Обратно, из $AB=E$ следует $\det A\det B=1$. Если $B,C$ обе обратные, $B=B(AC)=(BA)C=C$.

Свойства: $(A^{-1})^{-1}=A$; $(\lambda A)^{-1}=\lambda^{-1}A^{-1}$ при $\lambda\ne0$; $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$; $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$.

Транспонирование: $(A^T)_{ij}=a_{ji}$, строки становятся столбцами. $(A^T)^T=A$, $(A+B)^T=A^T+B^T$, $(\lambda A)^T=\lambda A^T$, $(AB)^T=B^TA^T$.

Для порядка 2: $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ при $ad-bc\ne0$.

Подробный разбор

Подробный алгоритм по дополнениям

1. Убедиться, что матрица квадратная, вычислить определитель.
2. Если он ненулевой, найти дополнение каждого элемента.
3. Составить матрицу дополнений $C$, затем транспонировать её.
4. Разделить все элементы $C^T$ на $\det A$.
5. Проверить умножением на исходную матрицу.

Доказательства свойств

Равенство $(A^{-1})^{-1}=A$ следует из симметрии $AA^{-1}=A^{-1}A=E$. Для $\lambda\ne0$ произведение $(\lambda A)(\lambda^{-1}A^{-1})=E$ в обе стороны, поэтому кандидат — обратная матрица. Для произведения:

и аналогично в обратном порядке. Единственность обратной завершает доказательство. Транспонируя $AA^{-1}=E$ и $A^{-1}A=E$, получаем обе проверки для $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$.

Все утверждения о $A^{-1},B^{-1}$ предполагают обратимость матриц. Кроме того, $\det A^{-1}=1/\det A$, что следует из определителя равенства $AA^{-1}=E$.

Разобранный пример

$A=\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}$, $\det A=4-3=1$. Матрица дополнений $C=\begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}$, поэтому $A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix}$. Проверка произведения даёт строки $(4-3,-2+2)=(1,0)$ и $(6-6,-3+4)=(0,1)$.

Сравним с $B=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$: определитель нулевой, обратной нет, потому что две строки зависимы.

Свойства транспонирования отдельно

$(A+B)^T=A^T+B^T$ и $(\lambda A)^T=\lambda A^T$ следуют из определения элементов. Транспонирование прямоугольной $m\times n$ матрицы даёт $n\times m$. Матрица симметрична, если $A^T=A$; это возможно только при квадратном размере.

Проверка себя

Почему в формуле обратной матрицы нужно транспонировать дополнения?