Формула Муавра и извлечение корня

Краткий план ответа

Формула Муавра: для целого $n$

[r(\cos\varphi+i\sin\varphi)]^n=r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi).

Для отрицательных $n$ требуется $r>0$ , для нулевой степени — ненулевое основание. Для положительных $n$ формула следует индукцией из правила умножения комплексных чисел.

При $z=re^{i\varphi}\ne0$ и натуральном $n$ уравнение $w^n=z$ имеет ровно $n$ различных решений:

w_k=\sqrt[n]r\left(\cos\frac{\varphi+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right),\quad k=0,\ldots,n-1.

Вывод: положим $w=\rho e^{i\theta}$ . Тогда $\rho^n=r$ , $n\theta=\varphi+2\pi k$ . Индексы, отличающиеся на $n$ , повторяют тот же корень.

Корни лежат на окружности радиуса $\sqrt[n]r$ и при $n\ge3$ образуют вершины правильного $n$ -угольника. У нуля единственный корень как значение: 0.

Пример: корни третьей степени из 1 — $1$ , $-\tfrac12+\tfrac{\sqrt3}{2}i$ , $-\tfrac12-\tfrac{\sqrt3}{2}i$ .

Подробный разбор

Доказательство Муавра индукцией

Для $n=1$ формула очевидна. Если она верна для $n$ , умножение ещё на $r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$ по правилу сложения аргументов даёт модуль $r^{n+1}$ и аргумент $(n+1)\varphi$ . Значит, формула верна для любого натурального $n$ . Для отрицательных степеней используем обратное ненулевое число.

Почему корней ровно n

Каждое значение $w_k$ из формулы при возведении в степень $n$ даёт модуль $r$ и аргумент $\varphi+2\pi k$ , то есть исходное число. Если два значения совпали, их аргументы отличаются на $2\pi l$ , поэтому $(k_1-k_2)/n=l$ . Для $0\le k_1,k_2<n$ это возможно только при $k_1=k_2$ . Любой иной целый индекс сводится к одному из этих по остатку от деления на $n$ . Кроме того, любое решение уравнения обязано иметь такие модуль и аргумент, поэтому других решений нет.

Пример с ненулевым аргументом

Найдём четвёртые корни из $-16=16e^{i\pi}$ :

w_k=2e^{i(\pi/4+\pi k/2)},\quad k=0,1,2,3.

Получаем $\sqrt2+i\sqrt2$ , $-\sqrt2+i\sqrt2$ , $-\sqrt2-i\sqrt2$ , $\sqrt2-i\sqrt2$ . Они образуют квадрат. Возведение первого в четвёртую степень даёт $2^4e^{i\pi}=-16$ ; для остальных добавляется угол, кратный $2\pi$ .

Возведение в степень отдельно

$(1+i)^8=(\sqrt2)^8e^{8\pi i/4}=16$ . Сначала приводим число к удобной форме, затем возводим модуль в степень и умножаем аргумент на показатель. Запись $\sqrt[n]z$ в комплексных числах без дополнительного соглашения обозначает набор значений, а не единственное арифметическое значение.

Проверка себя

Почему в формуле нужны все k от 0 до n−1?