Многочлены и линейные операции

Краткий план ответа

Многочлен с комплексными коэффициентами:

$n$ — степень, $a_0$ — старший коэффициент, $a_n$ — свободный член. Ненулевой постоянный многочлен имеет степень 0. У нулевого многочлена все коэффициенты нулевые; в конспекте его степень не определяется.

Многочлены равны, если совпадают коэффициенты при всех степенях (пропущенные степени имеют коэффициент 0).

Линейные операции: сложение и вычитание коэффициентов одинаковых степеней и умножение каждого коэффициента на число $\lambda\in\mathbb C$. Они удовлетворяют аксиомам линейного пространства.

Для ненулевой суммы $\deg(P+Q)\le\max(\deg P,\deg Q)$: старшие члены могут сократиться. Если $\lambda\ne0$ и $P\ne0$, $\deg(\lambda P)=\deg P$.

Пример: $(z^2+2iz+1)+(-z^2+z)=(1+2i)z+1$ — степень суммы уменьшилась.

Дополнение к конспекту Многочлены степени не выше $n$ образуют пространство с базисом $1,z,\ldots,z^n$. Множество многочленов степени ровно $n>0$ пространством не является: сумма может иметь меньшую степень.

Подробный разбор

Пространство многочленов

Обозначим $\mathcal P_n(\mathbb C)$ множество многочленов степени не выше $n$, включая нулевой. Оно замкнуто относительно суммы и умножения на комплексное число. Коэффициенты при $1,z,\ldots,z^n$ дают координаты, поэтому эта система является базисом, а размерность равна $n+1$.

Все многочлены любой конечной степени тоже образуют пространство $\mathbb C[z]$, но оно бесконечномерно: конечного списка степеней для порождения всех многочленов недостаточно.

Формулы линейных операций

Удобно дописать нулевые старшие коэффициенты, чтобы степени совпадали. Если $P=\sum_{k=0}^n p_kz^k$, $Q=\sum_{k=0}^n q_kz^k$, то $\alpha P+\beta Q=\sum_{k=0}^n(\alpha p_k+\beta q_k)z^k$. Каждая аксиома линейного пространства следует из соответствующей аксиомы комплексных чисел.

В частности, $P+0=P$, $P+(-P)=0$, $\alpha(P+Q)=\alpha P+\alpha Q$. Умножение двух многочленов не является линейной операцией в смысле списка «сложение и умножение на число», хотя линейно по каждому из двух аргументов отдельно.

Разобранный пример

$P=(1+i)z^2+2z-i$, $Q=(1-i)z^2-z+3i$. Тогда $P+Q=2z^2+z+2i$, $P-Q=2iz^2+3z-4i$, $iP=(-1+i)z^2+2iz+1$.

Степень и равенство

Нулевой многочлен нужно обрабатывать отдельно: формулы со степенью ненулевого многочлена нельзя автоматически применять к нему. Равенство многочленов — равенство всех коэффициентов. Равенство значений в одной или нескольких точках само по себе ещё не означает тождества; например, $z$ и $z^2$ совпадают при 0 и 1, но это разные многочлены.

Проверка себя

Почему степень суммы может оказаться меньше обеих исходных степеней?