Определители второго и третьего порядка. Свойства

Краткий план ответа

Определитель — число, сопоставленное квадратной матрице.

Для матрицы третьего порядка:

Это правило Саррюса: три произведения берём с плюсом, три с минусом. Оно применимо только к порядку 3.

Основные свойства (для любого порядка):

1. $\det A^T=\det A$.
2. Перестановка двух строк меняет знак.
3. Множитель одной строки выносится за знак определителя.
4. Нулевая строка, две одинаковые или пропорциональные строки дают нулевой определитель.
5. Определитель линеен по каждой отдельной строке при остальных фиксированных.
6. Прибавление к строке другой строки, умноженной на число, сохраняет определитель.
7. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.

Все свойства строк верны и для столбцов. В частности, $\det E=1$, $\det(\lambda A)=\lambda^n\det A$ для $n\times n$.

Пример: $\det\begin{pmatrix}2&7&1\\0&3&4\\0&0&-1\end{pmatrix}=-6$.

Подробный разбор

Почему верны свойства определителя

Для общего порядка можно использовать формулу по перестановкам из темы 9. В каждом её произведении участвует ровно один элемент каждой строки. Отсюда линейность по строке и вынесение общего множителя. При обмене двух строк перестановки меняют чётность — знак определителя меняется.

Если две строки одинаковы, обмен не меняет матрицу, но меняет знак числа, поэтому $\det A=-\det A$ и $\det A=0$. Для пропорциональных строк выносим коэффициент и получаем одинаковые строки. При нулевой строке каждое произведение содержит нулевой множитель.

Если $R_i\gets R_i+\lambda R_j$, линейность даёт исходный определитель плюс $\lambda$ умножить на определитель с двумя одинаковыми строками; второе слагаемое нулевое. При транспонировании произведения переиндексируются обратными перестановками, имеющими ту же чётность, поэтому значение сохраняется.

Треугольная матрица

Для верхнетреугольной матрицы в первом столбце только один потенциально ненулевой элемент $a_{11}$. Разложение по столбцу даёт $\det A=a_{11}\det A_1$, где $A_1$ снова верхнетреугольная. Повторяем и получаем $\prod_i a_{ii}$. Для нижнетреугольной применяем транспонирование.

Разобранный пример

Делаем $R_2\gets R_2-2R_1$, $R_3\gets R_3-R_1$. Получаем строки $(1,2,3)$, $(0,1,2)$, $(0,-2,-2)$. Затем $R_3\gets R_3+2R_2$: диагональ $(1,1,2)$, поэтому $D=2$. Ни одна операция не меняла определитель.

Не следует говорить «любое элементарное преобразование сохраняет определитель»: перестановка меняет знак, масштабирование строки — множитель.

Проверка себя

Почему умножение всей матрицы на число даёт множитель в степени n?